Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1 + x}{1 + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với ${(1 + y)}^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Bước 1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

Bước 1.3.2

Viết lại ${(1 + x)}^{2}$ ở dạng $(1 + x) (1 + x)$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

Bước 1.3.3

Khai triển $(1 + x) (1 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

Bước 1.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

Bước 1.3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Bước 1.3.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Bước 1.3.4.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Bước 1.3.4.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

Bước 1.3.4.1.4

Nhân $x$ với $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

Bước 1.3.4.2

Cộng $x$ và $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = 1 + y$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = 1 + y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + y$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(1 + y)}^{3}$ .

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

Bước 3.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$