Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 1.3

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Bước 3.4

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Bước 3.5.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Bước 7

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \cos (x) + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = - \cos (x) + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $2$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Bước 10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Tính $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Bước 10.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Bước 10.2.1.3

Chia $0.99939082$ cho $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Bước 10.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Bước 10.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Cộng $0.2498477$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Bước 10.3.2

Cộng $1$ và $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Bước 10.4

Nhân cả hai vế của phương trình với $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Bước 10.5

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Bước 10.5.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Bước 10.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Nhân $4$ với $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Bước 11

Thay $4.99939082$ cho $C$ trong $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $4.99939082$ bằng $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$