Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 1.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (| x |)$ và $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Bước 3.3.6

Rút gọn.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$