Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2.3.3

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $24$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Bước 2.3.4

Nhân $24$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = 2 x + 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 2.3.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.3.5.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Bước 2.3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Bước 2.3.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Bước 2.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.1.2.2.4

Chia $- 12$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 2.3.8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.8.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.8.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Bước 2.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Bước 2.3.10.1.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.10.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Bước 2.3.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.3.1

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.10.3.2

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.10.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Bước 2.3.10.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.10.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$