Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y + y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y + y e^{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

Bước 1.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.1.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.2

Nhân $y + y e^{y^{2}}$ với $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $y + y e^{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.3.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Bước 1.2.5.2

Chia $1 + x e^{x}$ cho $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.3

Giả sử $u = y^{2}$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Hãy đặt $u = y^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Tính đạo hàm $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 y$

Bước 2.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.4

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

Bước 2.3.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

Bước 2.3.4

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$