Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Bước 2.3

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Bước 2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Bước 2.3.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Bước 2.4

Rút gọn $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x} y = \int x d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $e^{- x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 7.3.1.4

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$