Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Bước 2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Bước 6.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Bước 9.2

Rút gọn $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Bước 9.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Bước 9.2.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$- 1 + C = 3$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 3 + 1$

Bước 9.3.2

Cộng $3$ và $1$ .

$C = 4$

Bước 10

Thay $4$ cho $C$ trong $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $4$ bằng $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$