Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 3 x^{- 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ ở dạng $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $2$ cho $y$ trong $y = - \frac{3}{x} + K$ .

$2 = - \frac{3}{1} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{3}{1} + K = 2$ .

$- \frac{3}{1} + K = 2$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia $3$ cho $1$ .

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

Bước 4.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 + K = 2$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 2 + 3$

Bước 4.3.2

Cộng $2$ và $3$ .

$K = 5$

Bước 5

Thay $5$ cho $K$ trong $y = - \frac{3}{x} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $5$ bằng $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + 5$