Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\sqrt{y}$ ra ngoài $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2.1.2

Di chuyển $y^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2.1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- \frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

Bước 2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ cho $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.1.2.2

Chia $y^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Bước 3.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Rút gọn ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Bước 3.3.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Bước 3.3.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Bước 3.3.1.1.2

Rút gọn.

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Viết lại ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ ở dạng $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Bước 3.3.2.1.2

Khai triển $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.1

Kết hợp.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.4

Kết hợp.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.5.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.5.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.6

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.7

Kết hợp.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.8

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.9

Kết hợp.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.10

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.10.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.10.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.10.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.11

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12

Nhân $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.12.1

Nhân $\frac{x}{2}$ với $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.12.6

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.13

Nhân $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.13.1

Nhân $\frac{x}{2}$ với $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.13.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.14

Kết hợp.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.15

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.16

Nhân $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.16.1

Nhân $\frac{K}{2}$ với $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.16.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17

Nhân $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.1.17.1

Nhân $\frac{K}{2}$ với $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17.2

Nâng $K$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17.3

Nâng $K$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.2.1.3.1.17.6

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.3.2.2

Cộng $x^{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.4

Cộng $x^{2} K$ và $K x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.4.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.4.2

Cộng $K x^{2}$ và $K x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.5

Cộng $x K$ và $K x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.5.1

Sắp xếp lại $x$ và $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.5.2

Cộng $K x$ và $K x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.6

Tách phân số $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ thành hai phân số.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.4

Đưa $x$ ra ngoài $2 K x$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.5

Đưa $x$ ra ngoài $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.6

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.7

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.8

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.3.2.1.7.9

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.4

Rút gọn $\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.4.2

Di chuyển $2 K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 3.4.3

Di chuyển $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ .

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

Bước 6.2

Rút gọn $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ và $0$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Bước 6.2.2

Cộng $K \cdot 0$ và $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Sắp xếp lại $0 \cdot K$ và $K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

Bước 6.2.2.2

Cộng $K$ và $0 \cdot K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Bước 6.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

Bước 6.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

Bước 6.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

Bước 6.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

Bước 6.2.3.1.2.4

Chia $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ cho $1$ .

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Bước 6.2.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Bước 6.2.3.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

Bước 6.2.3.2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

Bước 6.2.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.3.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 (0 + K) + K = 1$

Bước 6.2.3.3.2

Cộng $0$ và $K$ .

$0 K + K = 1$

Bước 6.2.3.4

Nhân $0$ với $K$ .

$0 + K = 1$

Bước 6.2.4

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 1$

Bước 7

Thay $1$ cho $K$ trong $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $1$ bằng $K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Bước 7.2

Cộng $1 x$ và $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

Bước 7.3

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.4

Kết hợp $K$ và $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

Bước 7.6.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$