Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Bước 1.2

Giả sử $u_{1} = 2 t$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 1.3

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 1.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Bước 1.5

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Bước 1.6

Rút gọn.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Bước 1.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.3

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 3.3.3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.3.3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.4

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.7

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Bước 3.3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Bước 3.3.9

Rút gọn.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Bước 3.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$