Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Bước 1

Để $V = \frac{x}{y}$ . Thay $V$ cho $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Bước 2

Giải $V = \frac{x}{y}$ để tìm $x$ .

$x = V y$

Bước 3

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $x = V y$ tương ứng với $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Bước 4

Thay $y \frac{d V}{d y} + V$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Bước 5

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Bước 5.1.1.1.2

Trừ $V$ khỏi $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Bước 5.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ cho $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Bước 5.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Bước 5.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d y}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Bước 5.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Bước 5.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Bước 5.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Bước 5.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{V}$ vào tử số.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Bước 5.1.3.2.2

Đưa $V$ ra ngoài $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Bước 5.1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Bước 5.1.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Bước 5.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Bước 5.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Bước 5.2.2

Tích phân của $\frac{1}{V}$ đối với $V$ là $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Bước 5.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Bước 5.2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Bước 5.2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Bước 5.2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Bước 5.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Bước 5.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Bước 5.3.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Bước 5.3.2.1.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Bước 5.3.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Bước 5.3.3

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Bước 5.3.4

Viết lại $\ln (y^{2} | V |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Bước 5.3.5

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Bước 5.3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} | V | = e^{C}$ cho $y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} | V | = e^{C}$ cho $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Bước 5.3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Bước 5.3.5.2.2.1.2

Chia $| V |$ cho $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Bước 5.3.5.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Bước 5.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Bước 5.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Bước 6

Thay $\frac{x}{y}$ bằng $V$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Bước 7

Giải $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 7.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Kết hợp $C$ và $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Bước 7.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Bước 7.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Bước 7.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{C}{y}$