Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $\frac{2 x}{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Cộng $\frac{1}{y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Bước 1.1.2.2

Cộng $\frac{2 x}{y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Bước 1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ cho $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.1.3.3.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để viết $\frac{x}{y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $2 y$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân $\frac{x}{y}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Bước 1.2.2.2

Sắp xếp lại các thừa số của $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Bước 1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Bước 1.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Bước 2.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Bước 3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Bước 3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Bước 3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$