Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = (t + 1) \sin^{2} (2 t)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t + 1$ và $d v = \sin^{2} (2 t)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Bước 2.3.5

Vì $- \frac{1}{8}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (4 t) d t)$

Bước 2.3.6

Giả sử $u = 4 t$ . Sau đó $d u = 4 d t$ , nên $\frac{1}{4} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Hãy đặt $u = 4 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Tính đạo hàm $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 2.3.6.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 2.3.6.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 2.3.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Bước 2.3.7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 2.3.8.2

Kết hợp $\sin (4 t)$ và $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Bước 2.3.9

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{3})))$

Bước 2.3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C_{3}))$

Bước 2.3.10.1.2

Nhân $4$ với $8$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Bước 2.3.10.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Bước 2.3.10.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.10.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{t^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{32}) \cos (u)) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.4

Nhân $\frac{1}{32}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{32} \cos (u)) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.5

Kết hợp $\frac{1}{32}$ và $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.6

Để viết $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.7

Kết hợp $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ và $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.10.3.9

Nhân $8$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (4 t)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 (- 2) \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 \cdot - 2 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.12.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 (- 1) \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.2

Đưa $8$ ra ngoài $32$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.12.3.4

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin (4 t) t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{\cos (4 t)}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.6

Viết lại $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ ở dạng $- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Bước 2.3.13.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + K$