Giải tích Ví dụ

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ cho $e^{5 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ cho $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{5 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{5 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $e^{- 5 x}$ với $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = - 5 x$ . Sau đó $d u = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = - 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 2.3.3.1.2

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Bước 2.3.3.1.4

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Bước 2.3.4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Bước 2.3.6

Nhân $- 1$ với $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 2.3.7

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.10

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$