Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

Bước 1

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 7.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Bước 7.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Bước 7.5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Bước 7.6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 7.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 7.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 7.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 7.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 7.10

Viết lại $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 7.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 7.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 7.12.1.2

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 7.12.1.3

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 7.12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 7.12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 7.12.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 7.12.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{2 x}}{4}$ vào tử số.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Bước 7.12.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

Bước 7.12.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 7.12.4.4

Viết lại biểu thức.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.6

Để viết $x e^{2 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.7

Kết hợp $x e^{2 x}$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.9.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.9.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.9.2.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Bước 7.12.9.2.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Bước 7.12.9.2.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.4

Viết lại $- 1 e^{2 x}$ ở dạng $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.8

Kết hợp $e^{2 x} x$ và $- \frac{e^{2 x}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.8.1

Sắp xếp lại $e^{2 x}$ và $x$ .

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.8.2

Để viết $x e^{2 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.8.3

Kết hợp $x e^{2 x}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.9.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.9.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.9.2.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.9.2.2

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.2.9.2.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.3

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Kết hợp $C$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.5.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.5.4

Viết lại $- 1 e^{2 x}$ ở dạng $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.5.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.8

Nhân $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ với $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$