Giải tích Ví dụ

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 1

Viết bài toán ở dạng một biểu thức toán học.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Bước 2.2

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} + y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $y^{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $12 x$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $12 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 x = 12 x$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $12 x$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $2 x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Bước 5.3

Thay $2 x y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $2 x y$ bằng $M$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Bước 5.3.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{10}{2 y}$

Bước 5.3.4

Thay $2 x y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Bước 5.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $5 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $5$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ với hệ số tích phân $y^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2 x y$ với $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $y$ với $y^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 7.2.2

Nhân $y^{5}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 7.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 7.2.3

Cộng $5$ và $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $6 x^{2} + y^{3}$ với $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $y^{3}$ với $y^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Bước 7.5.2

Cộng $3$ và $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x y^{6}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $2 y^{6}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y^{6}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Bước 9.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.2

Kết hợp $y^{6}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.4

Nhân $2$ với $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.5.2

Chia $y^{6}$ cho $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{6} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{6} x^{2}$ đối với $y$ là $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.3.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $6 y^{5} x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $6 x^{2} y^{5}$ và $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Bước 13.1.2.2

Trừ $6 y^{5} x^{2}$ khỏi $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Bước 13.1.2.3

Cộng $y^{8}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $y^{8}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Bước 14.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{8}$ đối với $y$ là $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$