Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) \sin (4 x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y - 1$ ra ngoài $(y - 1) \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (\sin (4 x)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \sin (4 x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 1} d y = \sin (4 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \sin (4 x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = y - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2})) + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cos (u_{2})$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (u_{2})}{4} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (4 x)}{4} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C} = | y - 1 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\cos (4 x)$ và $\frac{1}{4}$ .

$| y - 1 | = e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

Bước 3.3.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C} + 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C} + 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$