Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

Bước 1.2.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

Bước 1.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

Bước 1.2.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

Bước 1.2.3

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

Bước 1.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

Bước 1.2.3.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Bước 1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{x + C}$ .

$| y | = e^{x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x + C}$ ở dạng $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x}$