Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = 1 + y^{2}$ . Sau đó $d u = 2 y d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = 1 + y^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.2.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $0$ và $2 y$ .

$2 y$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Bước 2.3.2

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Bước 2.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$