Giải tích Ví dụ

$(1 + \sin (y)) d x + (x \cos (y) - 2 y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\sin (y)$ đối với $y$ là $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y)$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x \cos (y) - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y) - 2 y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \cos (y) - 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\cos (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \cos (y)$ đối với $x$ là $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.3.3

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\cos (y)$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\cos (y)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\cos (y)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (y) = \cos (y)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + \sin (y) d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x + g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(1 + \sin (y)) x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $(1 + \sin (y)) x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.3.4

Đạo hàm của $\sin (y)$ đối với $y$ là $\cos (y)$ .

$x (0 + \cos (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.3.5

Cộng $0$ và $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) = x \cos (y) - 2 y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x \cos (y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x \cos (y)$ khỏi $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $- 2 y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $- 2 y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Bước 10.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Bước 10.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 10.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 10.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Bước 10.5.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = 1 x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Bước 12.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x + x \sin (y) - y^{2} + C$