Giải tích Ví dụ

$(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 3 x - 2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 2 y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.2.2

Vì $3 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

Bước 1.4

Trừ $4 y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 2.2

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 4 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = - 2 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 4 y = - 2 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 4 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $- 2 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $- 2 x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $- 2 x y$ bằng $N$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 4 y - (- 2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 4 y$ .

$\frac{y \cdot - 4 - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot - 4 + y (- (- 2))}{- 2 x y}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot - 4 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (- 4 - (- 2))}{- 2 x y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{y (- 4 + 2)}{- 2 x y}$

Bước 4.3.2.3

Cộng $- 4$ và $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3 x - 2 y^{2}$ với $x$ .

$(3 x - 2 y^{2}) x d x - 2 x y d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x \cdot x - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển $x$ .

$(3 (x \cdot x) - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Bước 6.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $- 2 x y$ với $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y x d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 (x \cdot x) y d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x^{2} y d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x^{2} y d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = - 2 x^{2} y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 2 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2 x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - 2 x^{2} \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $- 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{- x^{2}}{1} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4.2.4

Chia $- x^{2}$ cho $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $- y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2} y^{2}$ đối với $x$ là $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} x = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Cộng $2 y^{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Cộng $- 2 y^{2} x$ và $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $3 x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Bước 13.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Bước 13.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 13.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Bước 13.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Bước 13.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Bước 13.5.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + x^{3} + C$