Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Bước 2.3.1.2

Nhân $\csc (x) \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Bước 2.3.1.2.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Bước 2.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Bước 2.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Bước 2.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Bước 2.3.3

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Bước 2.3.5

Vì đạo hàm của $- \csc (x)$ là $\csc (x) \cot (x)$ , tích phân của $\csc (x) \cot (x)$ là $- \csc (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$