Giải tích Ví dụ

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

Bước 1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.3.2

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

Bước 1.4.2

Vì $\frac{1}{x^{2}}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{x^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Bước 1.4.4

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y - x^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - x^{- 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{- 1}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

Bước 2.3.4

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $0$ và $x^{- 2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\frac{1}{x^{2}}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = y - x^{- 1}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

Bước 5.4

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{2} y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{- 1} y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.5.2.2

Cộng $0$ và $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 8.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

Bước 9.1.1.2

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $\frac{y}{x^{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Bước 9.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Trừ $\frac{y}{x^{2}}$ khỏi $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

Bước 9.1.2.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 d x$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 2 x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

Bước 12.3

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$