Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Làm âm số mũ của $e^{- y}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2.1.2.1.2

Nhân $- y \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2.1.2.1.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $5$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Bước 5.2

Để giải tìm $K$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Bước 5.3

Viết lại $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Bước 5.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Bước 5.4.2

Rút gọn $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Bước 5.4.2.2

Trừ $20$ khỏi $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Bước 5.4.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$5 + K = 1$

Bước 5.4.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 1 - 5$

Bước 5.4.4.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$K = - 4$

Bước 6

Thay $- 4$ cho $K$ trong $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $- 4$ bằng $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$