Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 7 y = 11 x$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 7 d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{7 x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{7 x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{7 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + e^{7 x} (7 y) = e^{7 x} (11 x)$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = e^{7 x} (11 x)$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 e^{7 x} y = 11 e^{7 x} x$ .

$e^{7 x} \frac{d y}{d x} + 7 y e^{7 x} = 11 x e^{7 x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{7 x} y] = 11 x e^{7 x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{7 x} y] d x = \int 11 x e^{7 x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{7 x} y = \int 11 x e^{7 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $11$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $11$ ra khỏi tích phân.

$e^{7 x} y = 11 \int x e^{7 x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x (\frac{1}{7} e^{7 x}) - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (x \frac{e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Bước 6.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{7 x}}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{1}{7} e^{7 x} d x)$

Bước 6.3.3

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $e^{7 x}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \int \frac{e^{7 x}}{7} d x)$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - (\frac{1}{7} \int e^{7 x} d x))$

Bước 6.5

Giả sử $u = 7 x$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Hãy đặt $u = 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Tính đạo hàm $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 6.5.1.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Bước 6.5.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$7$

Bước 6.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{7} d u)$

Bước 6.6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Bước 6.7

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Bước 6.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $\frac{1}{7}$ với $\frac{1}{7}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u)$

Bước 6.8.2

Nhân $7$ với $7$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u)$

Bước 6.9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$

Bước 6.10

Viết lại $11 (\frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C))$ ở dạng $11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{u}) + C$

Bước 6.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} x e^{7 x} - \frac{1}{49} e^{7 x}) + C$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $e^{7 x}$ và $\frac{1}{49}$ .

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Bước 7.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ cho $e^{7 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{7 x} y = 11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49}) + C$ cho $e^{7 x}$ .

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{7 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{7 x} y}{e^{7 x}} = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{11 (\frac{1}{7} \cdot (x e^{7 x}) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1.1

Đưa $e^{7 x}$ ra ngoài $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x} - \frac{e^{7 x}}{49}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1.1.1

Đưa $e^{7 x}$ ra ngoài $\frac{1}{7} \cdot x e^{7 x}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) - \frac{e^{7 x}}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.1.2

Đưa $e^{7 x}$ ra ngoài $- \frac{e^{7 x}}{49}$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.1.3

Đưa $e^{7 x}$ ra ngoài $e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x) + e^{7 x} (- \frac{1}{49})$ .

$y = \frac{11 (e^{7 x} (\frac{1}{7} \cdot x - \frac{1}{49}))}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.3

Để viết $\frac{x}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $49$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1.4.1

Nhân $\frac{x}{7}$ với $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.4.2

Nhân $7$ với $7$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} (\frac{x \cdot 7}{49} - \frac{1}{49})}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{x \cdot 7 - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.6

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{11 e^{7 x} \frac{7 x - 1}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1.7.1

Kết hợp $\frac{7 x - 1}{49}$ và $11$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49} e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.7.2

Kết hợp $\frac{(7 x - 1) \cdot 11}{49}$ và $e^{7 x}$ .

$y = \frac{\frac{(7 x - 1) \cdot 11 e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.1.8

Di chuyển $11$ sang phía bên trái của $7 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49} \cdot \frac{1}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{7 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} \cdot 1}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{11 (7 x - 1) \cdot 1}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.1.5

Nhân $11$ với $1$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.2

Để viết $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.3

Để viết $\frac{C}{e^{7 x}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1)}{49} \cdot \frac{e^{7 x}}{e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Bước 7.2.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $49 e^{7 x}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.1

Nhân $\frac{11 (7 x - 1)}{49}$ với $\frac{e^{7 x}}{e^{7 x}}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C}{e^{7 x}} \cdot \frac{49}{49}$

Bước 7.2.3.4.2

Nhân $\frac{C}{e^{7 x}}$ với $\frac{49}{49}$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{e^{7 x} \cdot 49}$

Bước 7.2.3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{7 x} \cdot 49$ .

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x}}{49 e^{7 x}} + \frac{C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{11 (7 x - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{(11 (7 x) + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.6.2

Nhân $7$ với $11$ .

$y = \frac{(77 x + 11 \cdot - 1) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.6.3

Nhân $11$ với $- 1$ .

$y = \frac{(77 x - 11) e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + C \cdot 49}{49 e^{7 x}}$

Bước 7.2.3.6.5

Di chuyển $49$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{77 x e^{7 x} - 11 e^{7 x} + 49 C}{49 e^{7 x}}$