Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x$ , $y (1) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{x} y = x + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} = x + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (x + C) x$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (x + C) x$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (x + C) x$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(x + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = x \cdot x + C x$

Bước 8.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y = x^{2} + C x$

Bước 8.3.2.1.2.2

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $C x$ .

$y = C x + x^{2}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C x + x^{2}$ .

$1 = C \cdot 1 + 1^{2}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $C \cdot 1 + 1^{2} = 1$ .

$C \cdot 1 + 1^{2} = 1$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $C$ với $1$ .

$C + 1^{2} = 1$

Bước 10.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C + 1 = 1$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 1 - 1$

Bước 10.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$C = 0$

Bước 11

Thay $0$ cho $C$ trong $y = C x + x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $0$ bằng $C$ .

$y = 0 x + x^{2}$

Bước 11.2

Nhân $0$ với $x$ .

$y = 0 + x^{2}$

Bước 11.3

Cộng $0$ và $x^{2}$ .

$y = x^{2}$