Giải tích Ví dụ

$(1 - x) d y + y d x = 0$

Bước 1

Trừ $y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(1 - x) d y = - y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $1 - x$ ra ngoài $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(1 - x) y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 4.3.2.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.5.2

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 4.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Bước 5.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Bước 5.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Bước 5.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Bước 5.5.2

Nhân cả hai vế với $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| 1 - x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Bước 5.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Bước 5.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | 1 - x |$ .

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Bước 5.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm | 1 - x | C$

Bước 6.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | 1 - x |$