Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $2 y + \sin (y)$ .

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 y + \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\sin (y)$ đối với $y$ là $- \cos (y)$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ ở dạng $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$