Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$x y' = x^{2} + y$

Bước 2

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Bước 2.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Bước 2.3.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$2 x + 4$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 x + 4$

Bước 3

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Bước 4.5

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Bước 5

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = x^{2} + 4 x$ là đáp án của $x y' = x^{2} + y$