Giải tích Ví dụ

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ cho $x - 34$ .

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x - 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x - 34)}^{3}$ và $x - 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $x - 34$ ra ngoài ${(x - 34)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

Bước 1.3.2.4

Chia ${(x - 34)}^{2}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- y}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 1}{x - 34}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{x - 34}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

Bước 2.2.3

Giả sử $u = x - 34$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Hãy đặt $u = x - 34$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Tính đạo hàm $x - 34$ .

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

Bước 2.2.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 34$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

Bước 2.2.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

Bước 2.2.3.1.4

Vì $- 34$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 34$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 34$ .

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x - 34)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(x - 34)}^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 34}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x - 34}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x - 34}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x - 34}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.5

Nhân $- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $\frac{y}{x - 34}$ với $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.5.2

Nâng $x - 34$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.5.3

Nâng $x - 34$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.3

Để viết $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(x - 34)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ với $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.4.2

Nâng $x - 34$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.4.3

Nâng $x - 34$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $- 34$ sang phía bên trái của $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung $x - 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $x - 34$ ra ngoài ${(x - 34)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Bước 3.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Bước 3.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

Bước 7.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

Bước 7.4

Rút gọn.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x - 34}$ và $y$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $x - 34$ .

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Khai triển $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.1.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.3

Di chuyển $- 17$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.5

Nhân $- 34$ với $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

Bước 8.4.2.1.2.1.6

Di chuyển $- 34$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Bước 8.4.2.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.1

Trừ $34 x^{2}$ khỏi $- 17 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Bước 8.4.2.1.2.2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.2.1

Di chuyển $1156 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

Bước 8.4.2.1.2.2.2.2

Di chuyển $- 51 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$