Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{4 x}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 3 d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 3 x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 3 x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Bước 2.3

Nhân $e^{- 3 x}$ với $e^{4 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 4 x}$

Bước 2.3.2

Cộng $- 3 x$ và $4 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 3 x} y = \int e^{x} d x$

Bước 6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} y = e^{x} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ cho $e^{- 3 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ cho $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Đưa $e^{- 3 x}$ ra ngoài $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{4 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 7.3.1.2.4

Chia $e^{4 x}$ cho $1$ .

$y = e^{4 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$