Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} + 2 x y = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d x}{d y} = - 2 x y$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (- 2 x y)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - 2 \frac{1}{x} (x y)$

Bước 1.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x y)$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x (y))$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x y)$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - 2 y$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{x} d x = - 2 y d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 2 y d y$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 2 y d y$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int y d y$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - y^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| x |) = - y^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- y^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| x |) = - y^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- y^{2} + C} = | x |$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| x | = e^{- y^{2} + C}$ .

$| x | = e^{- y^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{- y^{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- y^{2} + C}$ ở dạng $e^{- y^{2}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{- y^{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- y^{2}}$ và $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{- y^{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$x = C e^{- y^{2}}$