Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y]$

Bước 2.2

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 3 y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = 3 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $3 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{N}$

Bước 4.3

Thay $3 x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $3 x y$ bằng $N$ .

$\frac{2 y - (3 y)}{3 x y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y - 1 \cdot 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 3 y}{3 x y}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 3 y$ .

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y (2 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{y (2 - 3)}{3 x y}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot - 1}{3 x y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{3 x}$

Bước 4.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3 x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{3 x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{3 x} d x}$

Bước 5.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 5.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.4

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{3} \ln (| x |)} + C$

Bước 5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $- \frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| x |)$ và $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{3} \ln (| x |))} + C$

Bước 5.5.1.2

Rút gọn $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})} + C$

Bước 5.5.2

Rút gọn $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})} + C$

Bước 5.5.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1} + C$

Bước 5.5.4

Nhân các số mũ trong ${({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{3} \cdot - 1} + C$

Bước 5.5.4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{3}} + C$

Bước 5.5.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{3}} + C$

Bước 5.5.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x^{2} + y^{2}) d x + 3 x y d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x^{2} + y^{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $x^{2} + y^{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $3 x y$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $3 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x y \frac{3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Bước 6.4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y \frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Bước 6.4.3

Kết hợp $y$ và $\frac{x \cdot 3}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \frac{y (x \cdot 3)}{x^{\frac{1}{3}}} d y = 0$

Bước 6.5

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x \cdot 3) x^{- \frac{1}{3}} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.6.2

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3}} x^{1} \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + 1} \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 3}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.6.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + y (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) d y = 0$

Bước 6.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x + 3 y x^{\frac{2}{3}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y x^{\frac{2}{3}} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 3 y x^{\frac{2}{3}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $3 x^{\frac{2}{3}}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 x^{\frac{2}{3}}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 3 x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $x^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.4

Nhân $3$ với $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.5

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + C$

Bước 8.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.3

Vì $\frac{3 y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.8.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 y^{2}}{2} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.10

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.11

Nhân $\frac{3 y^{2}}{2}$ với $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 y^{2} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.13

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6 y^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{6} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.15

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 y^{2}}{6 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.3.16

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Rút gọn $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 12.1.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 12.1.1.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1.3.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 12.1.1.1.3.2

Cộng $- x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Bước 12.1.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.2.2.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{3}} x^{2}) = 0$

Bước 12.1.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2} = 0$

Bước 12.1.1.2.2.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.2.2.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 6}{3}} = 0$

Bước 12.1.1.2.2.6.2

Cộng $- 1$ và $6$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Bước 12.1.2

Cộng $x^{\frac{5}{3}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x^{\frac{5}{3}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{5}{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{\frac{5}{3}} d x$

Bước 13.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{5}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$g (x) = \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} y^{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Bước 15.1.2

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C$

Bước 15.1.3

Kết hợp $\frac{3}{8}$ và $x^{\frac{8}{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \frac{3 x^{\frac{2}{3}} y^{2}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3 y^{2} x^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C$