Giải tích Ví dụ

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $x$ và $y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

Bước 1.3

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ cho $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.4.2

Chia $\frac{d x}{d y}$ cho $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.6.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.7

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $x$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (y) d y}$ , trong đó $P (y) = \frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (y)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$y$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Bước 3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 7.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 7.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Bước 7.5.2

Rút gọn.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ cho $y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ cho $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3.1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Bước 8.3.1.2.5

Chia $y$ cho $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$