Giải tích Ví dụ

$(2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3) d x + (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y^{2}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.5

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + 2 + 0$

Bước 1.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $0$ và $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 + 0$

Bước 1.6.2

Cộng $2 x y + 2$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2 \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 2$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x y + 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x y + 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x y + 2 = 2 x y + 2$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y + 2 x d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2} y + 2 x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int 2 x d y$

Bước 5.2

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int 2 x d y$

Bước 5.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C$

Bước 5.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + C$

Bước 5.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.6

Kết hợp $\frac{2 y^{2}}{2}$ và $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.3.7.2

Chia $y^{2} x$ cho $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y^{2} x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x$

Bước 9.1.2

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} + x y^{2} + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x y^{2}$ và $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + y^{2} x + 2 y + 3 - y^{2} x - 2 y$

Bước 9.1.3.2

Trừ $y^{2} x$ khỏi $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 + 0 - 2 y$

Bước 9.1.3.3

Cộng $2 x^{3} + 2 y + 3$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 2 y + 3 - 2 y$

Bước 9.1.3.4

Trừ $2 y$ khỏi $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Bước 9.1.3.5

Cộng $2 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x^{3} + 3$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Bước 10.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Bước 10.7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Bước 10.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$