Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x y^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Bernoulli.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x y^{2}$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$

Bước 2

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Bước 3

Giải phương trình để tìm $y$ .

$y = v^{- 1}$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Bước 5

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân $v$ với $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.4.3.2

Trừ $\frac{d}{d x} [v]$ khỏi $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 5.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Bước 6

Thay $- \frac{v'}{v^{2}}$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $v^{- 1}$ cho $y$ trong phương trình gốc $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 7

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ với $- v^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ với $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.1.2

Đưa $v^{2}$ ra ngoài $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.3

Nhân $\frac{d v}{d x}$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.4

Nhân $v^{- 1}$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.4.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.4.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.5

Rút gọn $- \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.6

Kết hợp $v$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.7

Nhân $- \frac{v}{x} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.2.1.7.2

Nhân $\frac{v}{x}$ với $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Bước 7.1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Bước 7.1.1.3.2

Nhân các số mũ trong ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Bước 7.1.1.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

Bước 7.1.1.3.3

Nhân $v^{- 2}$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.3.3.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

Bước 7.1.1.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

Bước 7.1.1.3.3.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{0}$

Bước 7.1.1.3.4

Rút gọn $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x$

Bước 7.1.2

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - x$

Bước 7.1.3

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - x$

Bước 7.2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 7.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 7.2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 7.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 7.3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- x)$

Bước 7.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Bước 7.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- x)$

Bước 7.3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x \cdot x$

Bước 7.3.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.1

Di chuyển $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - (x \cdot x)$

Bước 7.3.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - x^{2}$

Bước 7.4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x v] = - x^{2}$

Bước 7.5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - x^{2} d x$

Bước 7.6

Lấy tích phân vế trái.

$x v = \int - x^{2} d x$

Bước 7.7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x v = - \int x^{2} d x$

Bước 7.7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 7.7.3

Viết lại $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 7.8

Chia mỗi số hạng trong $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Chia mỗi số hạng trong $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.1.2.5

Chia $- \frac{1}{3} x^{2}$ cho $1$ .

$v = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

Bước 7.8.3.1.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{3}$ .

$v = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$

Bước 8

Thay $y^{- 1}$ bằng $v$ .

$y^{- 1} = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$