Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) (1 - 2 x)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 1} d y = (1 - 2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y - 1$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 - 2 x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.5.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x + C} = | y - 1 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

Bước 3.3.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C} + 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- x^{2} + x + C}$ ở dạng $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C} + 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- x^{2} + x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x} + 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- x^{2} + x} + 1$