Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $2 x y d y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.2.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Bước 2.4

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Bước 3.2

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Bước 3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $- 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - 2 y$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 y = - 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

Bước 6

Lấy tích phân $N (x, y) = - 2 x y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 2 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

Bước 6.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 6.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 6.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.3

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Bước 6.3.2.4.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $- y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y^{2}$ đối với $x$ là $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Cộng $y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

Bước 10.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Cộng $- y^{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Bước 11.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 12

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 13

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$