Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.5

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.6

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Bước 2.3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Bước 4.2

Rút gọn $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Bước 4.2.1.2

Chia $3$ cho $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Bước 4.2.1.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Bước 4.2.1.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Bước 4.2.1.6

Nhân $8$ với $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $- 1 - 3$ và $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Bước 4.2.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Bước 4.3

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 4$

Bước 5

Thay $4$ cho $C$ trong $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $4$ bằng $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $8 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Bước 5.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{8}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$