Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 2 x^{2} - 1$ . Sau đó $d u = 4 x d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 2 x^{2} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x + 0$

Bước 2.3.2.1.4.2

Cộng $4 x$ và $0$ .

$4 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $5$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Bước 4.2.2

Trừ $1$ khỏi $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Bước 4.2.3

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$7^{1} + K = 4$

Bước 4.2.6

Tính số mũ.

$7 + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - 7$

Bước 4.3.2

Trừ $7$ khỏi $4$ .

$K = - 3$

Bước 5

Thay $- 3$ cho $K$ trong $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 3$ bằng $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$