Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{1} = 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ và $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 2.3.4

Giả sử $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Tính đạo hàm $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Bước 2.3.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Bước 2.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Bước 4.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Bước 4.2.1.3

Tính $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Bước 4.2.1.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Bước 4.2.1.5

Chia $0.0174524$ cho $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Bước 4.3

Trừ $0.0043631$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = - 0.0043631$

Bước 5

Thay $- 0.0043631$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 0.0043631$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$