Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Bước 1.2

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Bước 1.2.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Bước 6.1.1.2

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Bước 6.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Bước 6.1.2.2

Đưa $V$ ra ngoài $V \ln (V) - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $V$ ra ngoài $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Bước 6.1.2.2.2

Đưa $V$ ra ngoài $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Bước 6.1.2.2.3

Đưa $V$ ra ngoài $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Bước 6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $V (\ln (V) - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giả sử $u_{1} = \ln (V)$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , nên $V d u_{1} = d V$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = \ln (V)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Bước 6.2.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (V)$ đối với $V$ là $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Giả sử $u_{2} = u_{1} - 1$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Bước 6.2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} - 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Bước 6.2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Bước 6.2.2.2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.2.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.4.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Bước 6.3.4

Viết lại $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Bước 6.3.5

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Bước 6.3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.4

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Bước 6.3.5.4.4

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Bước 6.3.5.4.5

Viết lại $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Bước 6.3.5.4.6

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Bước 6.3.5.4.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = e^{C | x | + 1}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$