Giải tích Ví dụ

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Bước 1

Giả sử $v = f - c$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $f - c$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d t}$ bằng cách tính đạo hàm $f - c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $f - c$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d t} [f]$ ở dạng $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Bước 2.3

Vì $- c$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- c$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Bước 2.4

Cộng $f'$ và $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Bước 4

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $v$ ra ngoài $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Bước 4.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Bước 5

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Bước 5.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Bước 5.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Bước 5.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Bước 6

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Bước 6.2

Viết lại $\ln (| v |) = t y + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Bước 6.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Bước 6.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Bước 7

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $e^{t y + C}$ ở dạng $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Bước 7.2

Sắp xếp lại $e^{t y}$ và $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Bước 7.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C e^{t y}$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Bước 9

Cộng $c$ cho cả hai vế của phương trình.

$f = C e^{t y} + c$