Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

Bước 1.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{2 e^{x} + C}$ ở dạng $e^{2 e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{2 e^{x}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{2 e^{x}}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = C e^{2 e^{x}}$ .

$4 = C e^{2 e^{0}}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{2 e^{0}} = 4$ .

$C e^{2 e^{0}} = 4$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$C e^{2} = 4$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{2} = 4$ cho $e^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{2} = 4$ cho $e^{2}$ .

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 6.3.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{4}{e^{2}}$

Bước 7

Thay $\frac{4}{e^{2}}$ cho $C$ trong $y = C e^{2 e^{x}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{4}{e^{2}}$ bằng $C$ .

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{4}{e^{2}}$ và $e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 e^{x}}$ và $e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $e^{2}$ ra ngoài $4 e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Bước 7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

Bước 7.3.2.4

Chia $4 e^{2 e^{x} - 2}$ cho $1$ .

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$