Giải tích Ví dụ

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Bước 1

Để $v = \frac{d q}{d t}$ . Sau đó $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d q}{d t}$ và $\frac{d v}{d t}$ cho $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Bước 2

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giải tìm $\frac{d v}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Trừ $25 v$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Bước 2.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Bước 2.1.2.2.2

Chia $\frac{d v}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Bước 2.1.2.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (- 25 v)$ ở dạng $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Bước 2.1.2.3.3

Nhân $- 25$ với $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Bước 2.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Bước 2.3.2

Kết hợp $25$ và $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Bước 2.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Bước 3.2

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Bước 4

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Bước 4.2

Viết lại $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Bước 4.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Bước 4.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Bước 5

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $e^{25 t + C_{3}}$ ở dạng $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $e^{25 t}$ và $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Bước 5.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Bước 7

Viết lại phương trình.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Bước 8

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Bước 8.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $C_{4}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $C_{4}$ ra khỏi tích phân.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Bước 8.3.2

Giả sử $u = 25 t$ . Sau đó $d u = 25 d t$ , nên $\frac{1}{25} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Hãy đặt $u = 25 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Tính đạo hàm $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Bước 8.3.2.1.2

Vì $25$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $25 t$ đối với $t$ là $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 8.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Bước 8.3.2.1.4

Nhân $25$ với $1$ .

$25$

Bước 8.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Bước 8.3.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Bước 8.3.4

Vì $\frac{1}{25}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{25}$ ra khỏi tích phân.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Bước 8.3.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Bước 8.3.6

Rút gọn.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Bước 8.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Bước 8.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Bước 8.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Bước 8.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$