Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Bước 1.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Bước 1.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Bước 1.4

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.7

Rút gọn.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Bước 3.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$