Giải tích Ví dụ

$y + x \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} = - y$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = - y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = - y$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Bước 3.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| y x |) = C$

Bước 3.4

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Bước 3.5

Viết lại $\ln (| y x |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Bước 3.6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Bước 3.6.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Bước 3.6.3

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C}$ cho $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 3.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 3.6.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{x}$