Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x + C_{1}}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $e^{- x}$ với $0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x} v = \int 0 d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $C_{2}$ .

$e^{- x} v = C_{2}$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} v = C_{2}$ cho $e^{- x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} v = C_{2}$ cho $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Bước 10

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Bước 11

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Bước 11.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Bước 11.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $C_{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

Bước 11.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{- x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Bước 11.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

Bước 11.3.2.2.1.2

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

Bước 11.3.2.2.1.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

Bước 11.3.2.2.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

Bước 11.3.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

Bước 11.3.4

Rút gọn.

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

Bước 11.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

Bước 11.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = e^{x} C + D$