Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1$

Bước 1

Viết lại $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2} + 1$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{2} + 1$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{2} + 1$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + V^{2} + 1 - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + V^{2} + 1 - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1 + 0$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $V^{2} + 1$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V^{2} + 1$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Bước 6.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $V^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Sắp xếp lại $V^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ đối với $V$ là $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $V$ ra khỏi bên trong arctang.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\tan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$