Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u_{1} = y - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = x + 3$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 3$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x + 3 |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x + 3 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

Bước 3.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x + 3 |$ .

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

Bước 3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

Bước 3.5.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm | x + 3 | e^{C}$ .

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

Bước 3.5.4.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

Bước 4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | x + 3 | + 1$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $- 1$ cho $x$ và $0$ cho $y$ trong $y = C | x + 3 | + 1$ .

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ .

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $- 1$ và $3$ .

$C | 2 | + 1 = 0$

Bước 6.2.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$C \cdot 2 + 1 = 0$

Bước 6.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$2 C + 1 = 0$

Bước 6.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 C = - 1$

Bước 6.4

Chia mỗi số hạng trong $2 C = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 C = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$C = - \frac{1}{2}$

Bước 7

Thay $- \frac{1}{2}$ cho $C$ trong $y = C | x + 3 | + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- \frac{1}{2}$ bằng $C$ .

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

Bước 7.2

Kết hợp $| x + 3 |$ và $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

Bước 7.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

Bước 7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$